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Cómo resolver ecuaciones con un módulo: reglas básicas

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Casi todos los maestros saben qué problemas tienen los estudiantes con el módulo. Este es uno de los materiales más difíciles que enfrentan los estudiantes en los exámenes.

La elección del tema se debe al hecho de que, en primer lugar, los problemas asociados con los valores absolutos a menudo se encuentran en las olimpiadas y exámenes matemáticos, y en segundo lugar, este concepto se usa ampliamente no solo en varias secciones del curso escolar de matemáticas, sino también en matemáticas superiores . Entonces, en el análisis matemático, el concepto del valor absoluto de un número se usa para determinar los conceptos básicos: límite, límite de una función y otros. En la teoría de los cálculos aproximados, se utiliza el concepto de error absoluto. En mecánica, en geometría, se estudia el concepto de vector, una de cuyas características es su longitud (módulo de vector).
A pesar de que el tema "Módulo numérico" abarca todo el curso de la escuela y las matemáticas superiores, se asigna muy poco tiempo para su estudio en el programa (en la clase 6 –2 horas, en la clase 8 –4 horas).

Basado en lo anterior, el maestro necesita encontrar una variedad de técnicas metodológicas, usar varios enfoques y métodos para enseñar la resolución de problemas con el módulo. Una variedad de métodos contribuirá a la asimilación consciente del conocimiento matemático, la participación de los estudiantes en la actividad creativa, así como la solución de una serie de tareas metodológicas que enfrenta el maestro en el proceso de aprendizaje, en particular, la implementación de conexiones intra-sujeto (álgebra-geometría), ampliando el alcance del uso de gráficos, aumentando la cultura gráfica de los estudiantes .

Estas circunstancias determinaron la elección del tema del trabajo creativo. Propósito del trabajo: mostrar la necesidad de una consideración más profunda del tema "Resolver ecuaciones con un módulo" en el currículo escolar, para desarrollar pautas para usar varios métodos para resolver problemas con el módulo. §1. Los principales métodos utilizados para resolver ecuaciones que contienen un módulo.

Recordemos los conceptos básicos utilizados en este tema. Una ecuación con una variable se llama igualdad que contiene una variable. Las raíces de la ecuación son los valores de la variable, en la cual la ecuación se convierte en verdadera igualdad. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o probar que no hay raíces. Una ecuación con un módulo es una igualdad que contiene una variable bajo el signo del módulo.

Al resolver ecuaciones que contienen el signo del valor absoluto, nos basaremos en la definición del valor absoluto del número y las propiedades del valor absoluto del número.

Hay varias formas de resolver ecuaciones con un módulo. Consideremos cada uno de ellos con más detalle.

1 camino Método de divulgación secuencial del módulo.

Ejemplo 1. Resolvemos la ecuación | x-5 | = 4.

Con base en la definición del módulo, hacemos el siguiente razonamiento. Si la expresión bajo el signo del módulo no es negativa, es decir, x-5≥0, entonces la ecuación tomará la forma x-5 = 4. Si el valor de la expresión bajo el signo del módulo es negativo, entonces, por definición, será igual a - (x-5) = 4 o x-5 = -4. Resolviendo las ecuaciones obtenidas, encontramos: x1 = 9, x2 = 1.
Respuesta: 9, 1.
Resolvamos de la misma manera una ecuación que contenga "módulo en módulo".

Ejemplo 2. Resolvemos la ecuación || 2x-1 | -4 | = 6.

Discutiendo de manera similar, consideramos dos casos.
1) | 2x-1 | -4 = 6, | 2x-1 | = 10. Usando nuevamente la definición del módulo, obtenemos: 2x-1 = 10 o 2x-1 = -10. Desde donde x1 = 5.5, x2 = -4.5.
2) | 2x-1 | -4 = -6, | 2x-1 | = -2. Está claro que en este caso la ecuación no tiene soluciones, ya que, por definición, el módulo siempre es no negativo.
Respuesta: 5.5, -4.5.
2 vías Método de intervalo
Información de referencia:

Método de intervalo - este es un método para dividir la recta numérica en intervalos en los que, según la definición del módulo, se puede eliminar el signo del valor absoluto. Para cada uno de los vacíos, es necesario resolver la ecuación y sacar una conclusión con respecto a las raíces resultantes. Las raíces que satisfacen las brechas darán la respuesta final.

Ejemplo 3. Resolvemos la ecuación | x + 3 | + | x-1 | = 6.
Encuentre las raíces (ceros) de cada expresión contenida bajo el signo del módulo: x + 3 = 0, x = -3, x-1 = 0, x = 1. Estos valores de x dividen la recta numérica en tres espacios:
-3 1

Resolvemos la ecuación por separado en cada uno de los intervalos resultantes. En el primer intervalo (x Davydova Natalya Alexandrovna 06/12/2011 192859 0

Poco de teoría

Entonces vamos. Comencemos con lo más importante: ¿qué es un módulo? Permítame recordarle que el módulo de un número es simplemente el mismo número, pero tomado sin el signo menos. Es decir, por ejemplo, $ left | -5 right | = 5 $. O $ left | -129.5 right | = $ 129.5.

¿Es así de simple? Si, simple ¿Y luego cuál es el módulo de un número positivo? Aquí es aún más simple: el módulo de un número positivo es igual a ese número en sí mismo: $ left | 5 right | = 5 $, $ left | 129.5 right | = $ 129.5 etc.

Resulta curioso: diferentes números pueden tener el mismo módulo. Por ejemplo: $ left | -5 right | = left | 5 right | = 5 $, $ left | -129.5 right | = left | 129.5 right | = $ 129.5. Es fácil notar qué tipo de números son para los cuales los módulos son iguales: estos números son opuestos. Por lo tanto, notamos por nosotros mismos que los módulos de números opuestos son iguales:

[ left | -a right | = left | a right | ]

Otro hecho importante: el módulo nunca es negativo. Cualquiera que sea el número que tomemos, incluso positivo, incluso negativo, su módulo siempre resulta positivo (o en casos extremos, cero). Es por eso que el módulo a menudo se llama el valor absoluto del número.

Además, si combinamos la definición del módulo para números positivos y negativos, obtenemos una definición global del módulo para todos los números. A saber: el módulo de un número es igual a este mismo número si el número es positivo (o cero), o igual al número opuesto si el número es negativo. Puedes escribir esto en forma de fórmula:

[ left | a right | = left < begin& a, quad a ge 0, & -a, quad a lt 0. end right. ]

También hay un módulo cero, pero siempre es cero. Además, cero es el único número que no tiene el opuesto.

Por lo tanto, si consideramos la función $ y = left | x right | $ e intenta dibujar su gráfico, entonces obtienes una "grajilla":

Gráfico del módulo y un ejemplo de resolución de la ecuación.

En esta imagen, puede ver de inmediato que $ left | -m right | = left | m right | $, y la gráfica del módulo nunca cae por debajo del eje de abscisas. Pero esto no es todo: la línea roja marca la línea $ y = a $, que para $ a $ positivo nos da dos raíces a la vez: $ <_ <1>> $ y $ <_ <2>> $, pero hablaremos de eso más tarde. :)

Además de una definición puramente algebraica, hay una definición geométrica. Supongamos que hay dos puntos en una recta numérica: $ <_ <1>> $ y $ <_ <2>> $. En este caso, la expresión $ left | <_<1>>-<_ <2>> right | $ es simplemente la distancia entre los puntos especificados. O, si lo desea, la longitud del segmento que conecta estos puntos:

El módulo es la distancia entre puntos en una recta numérica.

También se deduce de esta definición que el módulo siempre es no negativo. Pero suficientes definiciones y teoría: pasemos a estas ecuaciones. :)

Fórmula básica

Bueno, con una definición resuelta. Pero eso no lo hizo más fácil. ¿Cómo resolver ecuaciones que contienen este mismo módulo?

Calma, solo calma. Comencemos con las cosas más simples. Considera algo como esto:

Entonces, el módulo $ x $ es igual a 3. ¿Qué puede ser igual a $ x $? Bueno, a juzgar por definición, estamos bastante contentos con $ x = 3 $. De hecho:

¿Hay otros números? Cap, por así decirlo, insinúa lo que es. Por ejemplo, $ x = -3 $ - para él también, $ left | -3 right | = 3 $, es decir la igualdad requerida es válida.

Entonces, si buscas, piensas, ¿encontraremos más números? Pero separe: no hay más números. La ecuación $ left | x right | = 3 $ tiene solo dos raíces: $ x = 3 $ y $ x = -3 $.

Ahora vamos a complicar un poco la tarea. Deje que en lugar de la variable $ x $, la función $ f left (x right) $ cuelgue bajo el signo del módulo, y a la derecha, en lugar del triple, coloque un número arbitrario $ a $. Obtenemos la ecuación:

[ left | f left (x right) right | = a ]

Bueno, ¿cómo resolver esto? Permítame recordarle: $ f left (x right) $ es una función arbitraria, $ a $ es cualquier número. Es decir en general cualquiera! Por ejemplo:

[ left | 2x + 1 derecha | = 5 ]

[ left | 10x-5 right | = -65 ]

Prestemos atención a la segunda ecuación. Puedes decir inmediatamente sobre él: no tiene raíces. Por qué Así es: porque requiere que el módulo sea igual a un número negativo, lo que nunca sucede, ya que sabemos que el módulo siempre es un número positivo o, en casos extremos, cero.

Pero con la primera ecuación, todo es más divertido. Hay dos opciones: debajo del signo del módulo hay una expresión positiva, y luego $ left | 2x + 1 right | = 2x + 1 $, o esta expresión sigue siendo negativa, y luego $ left | 2x + 1 right | = - left (2x + 1 right) = - 2x-1 $. En el primer caso, nuestra ecuación se reescribe de la siguiente manera:

[ left | 2x + 1 derecha | = 5 Flecha derecha 2x + 1 = 5 ]

Y de repente resulta que la expresión submodular $ 2x + 1 $ es realmente positiva: es igual al número 5. Es decir, Podemos resolver esta ecuación con calma: la raíz resultante será una parte de la respuesta:

[2x + 1 = 5 Flecha derecha 2x = 4 Flecha derecha x = 2 ]

Las personas particularmente incrédulas pueden intentar sustituir la raíz encontrada en la ecuación original y asegurarse de que haya un número positivo debajo del módulo.

Ahora veamos el caso de una expresión de submódulo negativa:

[ left < begin& left | 2x + 1 right | = 5 & 2x + 1 lt 0 end right. Rightarrow -2x-1 = 5 Rightarrow 2x + 1 = -5 ]

¡Uy! Todo está claro nuevamente: supusimos que $ 2x + 1 lt 0 $, y como resultado obtuvimos que $ 2x + 1 = -5 $, de hecho, esta expresión es menor que cero. Resolvemos la ecuación resultante, mientras sabemos con certeza que la raíz encontrada nos conviene:

[2x + 1 = -5 Rightarrow 2x = -6 Rightarrow x = -3 ]

En total, nuevamente recibimos dos respuestas: $ x = 2 $ y $ x = 3 $. Sí, la cantidad de cálculos resultó ser un poco mayor que en la ecuación muy simple $ left | x right | = 3 $, pero básicamente nada ha cambiado. Entonces, ¿tal vez hay algún tipo de algoritmo universal?

Sí, dicho algoritmo existe. Y ahora lo desmontaremos.

Deshacerse de la señal del módulo

Se nos dará la ecuación $ left | f left (x right) right | = a $ y $ a ge 0 $ (de lo contrario, como ya sabemos, no hay raíces). Luego puede deshacerse del signo del módulo mediante la siguiente regla:

[ left | f left (x right) right | = a Rightarrow f left (x right) = pm a ]

Por lo tanto, nuestra ecuación con un módulo se divide en dos, pero sin un módulo. ¡Esa es toda la tecnología! Intentemos resolver un par de ecuaciones. Comencemos con esto

[ left | 5x + 4 right | = 10 Rightarrow 5x + 4 = pm 10 ]

Consideraremos por separado cuando una docena con un signo más está a la derecha y por separado cuando tenga un signo menos. Tenemos:

Eso es todo! Tenemos dos raíces: $ x = 1.2 $ y $ x = -2.8 $. Toda la decisión tomó literalmente dos líneas.

Ok, no hay duda, veamos algo un poco más serio:

[ left | 7-5x right | = 13 ]

Nuevamente, abra el módulo con más y menos:

De nuevo un par de líneas, ¡y la respuesta está lista! Como dije, no hay nada complicado en los módulos. Solo necesita recordar algunas reglas. Por lo tanto, vamos más allá y procedemos con tareas verdaderamente más complejas.

Caso de lado derecho variable

Ahora considere esta ecuación:

[ left | 3x-2 right | = 2x ]

Esta ecuación es fundamentalmente diferente de todas las anteriores. Que? Y el hecho de que a la derecha del signo igual está la expresión $ 2x $, y no podemos saber de antemano si es positivo o negativo.

¿Qué hacer en este caso? En primer lugar, debemos entender de una vez por todas que Si el lado derecho de la ecuación resulta ser negativo, entonces la ecuación no tendrá raíces - Ya sabemos que el módulo no puede ser igual a un número negativo.

Y en segundo lugar, si la parte derecha sigue siendo positiva (o igual a cero), puede actuar exactamente de la misma manera que antes: simplemente abra el módulo por separado con un signo más y separadamente con un signo menos.

Por lo tanto, formulamos una regla para funciones arbitrarias $ f left (x right) $ y $ g left (x right) $:

[ left | f left (x right) right | = g left (x right) Rightarrow left < begin& f left (x right) = pm g left (x right), & g left (x right) ge 0. end right. ]

En relación con nuestra ecuación obtenemos:

[ left | 3x-2 right | = 2x Rightarrow left < begin& 3x-2 = pm 2x, & 2x ge 0. end right. ]

Bueno, podemos manejar el requisito de $ 2x ge 0 $ de alguna manera. Al final, puede sustituir estúpidamente las raíces que obtenemos de la primera ecuación y verificar si la desigualdad se mantiene o no.

Por lo tanto, resolvemos la ecuación misma:

Bueno, ¿y cuál de estas dos raíces satisface el requisito de $ 2x ge 0 $? Si los dos! Por lo tanto, dos números volverán: $ x = <4> / <3> , $ y $ x = 0 $. Esa es toda la solución. :)

Sospecho que uno de los estudiantes ya comenzó a aburrirse. Bueno, considere una ecuación aún más compleja:

Aunque parece vicioso, de hecho es la misma ecuación de la forma "el módulo es igual a la función":

[ left | f left (x right) right | = g left (x right) ]

Y se resuelve de la misma manera:

Trataremos la desigualdad más tarde, de alguna manera es demasiado cruel (en realidad simple, pero no la resolveremos). Si bien es mejor tratar con las ecuaciones obtenidas. Considere el primer caso: esto es cuando el módulo se expande con un signo más:

Bueno, aquí y un erizo está claro que necesitas recolectar todo a la izquierda, traer otros similares y ver qué pasa. Y esto es lo que pasa:

Factor $ <^ <2>> $ fuera de paréntesis y obtenemos una ecuación muy simple:

Aquí usamos la propiedad importante del producto, por lo cual descomponemos el polinomio original en factores: el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.

Ahora trataremos la segunda ecuación de la misma manera, que se obtiene al expandir el módulo con un signo menos:

Nuevamente lo mismo: el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero. Tenemos:

Bueno, tenemos tres raíces: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ y $ x = <2> / <3> , $. Entonces, ¿qué de este conjunto irá a la respuesta final? Para hacer esto, recuerde que tenemos una limitación adicional en forma de desigualdad:

¿Cómo tener en cuenta este requisito? Sí, simplemente sustituimos las raíces encontradas y verificamos: la desigualdad se cumple para estos $ x $ o no. Tenemos:

Por lo tanto, la raíz $ x = 1.5 $ no nos conviene. Y en respuesta, solo irán dos raíces:

Como puede ver, incluso en este caso no había nada complicado: el algoritmo siempre resuelve las ecuaciones con módulos. Solo es necesario comprender bien los polinomios y las desigualdades. Por lo tanto, pasamos a tareas más complejas: ya no habrá uno, sino dos módulos.

Ecuaciones con dos módulos

Hasta ahora, hemos estudiado solo las ecuaciones más simples: había un módulo y algo más. Enviamos este "algo más" a otra parte de la desigualdad, lejos del módulo, para que al final todo se reduzca a una ecuación de la forma $ left | f left (x right) right | = g left (x right) $ o incluso más simple $ left | f left (x right) right | = a $.

Pero el jardín de infantes terminó, es hora de considerar algo más serio. Comencemos con las ecuaciones de este tipo:

[ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | ]

Esta ecuación tiene la forma "módulo es igual a módulo". Un punto fundamentalmente importante es la ausencia de otros términos y factores: solo un módulo a la izquierda, otro módulo a la derecha, y nada más.

Ahora alguien pensará que tales ecuaciones se resuelven más complicadas de lo que hemos estudiado hasta ahora. Y aquí no está: estas ecuaciones se resuelven aún más simplemente. Aquí está la fórmula:

[ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | Rightarrow f left (x right) = pm g left (x right) ]

Eso es todo! Simplemente equiparamos expresiones submodulares colocando un signo más o menos delante de una de ellas. Y luego resolvemos las dos ecuaciones obtenidas, ¡y las raíces están listas! Sin restricciones adicionales, sin desigualdades, etc. Todo es muy simple.

Intentemos resolver este problema:

[ left | 2x + 3 derecha | = izquierda | 2x-7 derecha | ]

¡Elemental, Watson! Revelamos los módulos:

[ left | 2x + 3 derecha | = izquierda | 2x-7 right | Rightarrow 2x + 3 = pm left (2x-7 right) ]

Consideramos cada caso por separado:

No hay raíces en la primera ecuación. Porque cuando es $ 3 = -7 $? ¿Cuáles son los valores de $ x $? "¿Qué demonios son $ x $? Has sido fumado No hay $ x $ en absoluto ”, dice usted. Y tendrás razón. Hemos obtenido una igualdad independiente de la variable $ x $, y la igualdad en sí es incorrecta. Por lo tanto, no hay raíces. :)

Con la segunda ecuación, todo es un poco más interesante, pero también muy, muy simple:

[2x + 3 = -2x + 7 Rightarrow 4x = 4 Rightarrow x = 1 ]

Como puede ver, todo se decidió literalmente en un par de líneas: no esperábamos otro de la ecuación lineal. :)

La respuesta final es: $ x = 1 $.

Bien como? ¿Es dificil? Por supuesto que no. Probemos algo más:

Nuevamente tenemos una ecuación de la forma $ left | f left (x right) right | = left | g left (x right) right | $. Por lo tanto, lo reescribimos de inmediato, revelando el signo del módulo:

Tal vez alguien preguntará ahora: "Oye, ¿qué tipo de tonterías? ¿Por qué "más o menos" se encuentra en la expresión correcta y no en la izquierda? Con calma, ahora explicaré todo. De hecho, en el buen sentido, tuvimos que reescribir nuestra ecuación de la siguiente manera:

Luego, debe abrir los corchetes, mover todos los términos a un lado del signo igual (ya que la ecuación obviamente será cuadrada en ambos casos), y luego encontrar las raíces más. Pero debes admitir: cuando el más o menos está delante de los tres términos (especialmente cuando uno de estos términos es una expresión cuadrada), de alguna manera parece más complicado que la situación cuando el más o menos está solo delante de los dos términos.

Pero nada nos impide reescribir la ecuación original de la siguiente manera:

[ left | x-1 right | = left | <^ <2>> -3x + 2 right | Rightarrow left | <^ <2>> -3x + 2 right | = left | x-1 right | ]

Que paso Sí, nada especial: solo cambié los lados izquierdo y derecho. Un poco, que al final simplificará un poco nuestra vida. :)

En general, resolvemos esta ecuación considerando opciones con más y menos:

La primera ecuación tiene raíces $ x = 3 $ y $ x = 1 $. El segundo es generalmente un cuadrado exacto:

Por lo tanto, tiene una sola raíz: $ x = 1 $. Pero ya recibimos esta raíz antes. Por lo tanto, solo dos números irán a la respuesta final:

Misión cumplida! Puedes sacarlo del estante y comer un pastel. Hay 2 de ellos, tu promedio. :)

Aviso importante. La presencia de las mismas raíces para diferentes variantes de la expansión del módulo significa que los polinomios originales están factorizados, y entre estos factores, sin duda, habrá uno común. De hecho:

Una de las propiedades del módulo: $ left | a cdot b right | = left | a right | cdot left | b right | $ (es decir, el módulo del producto es igual al producto de los módulos), por lo que la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:

[ left | x-1 right | = left | x-1 right | cdot left | x-2 right | ]

Como puede ver, realmente tenemos un factor común. Ahora, si reúne todos los módulos por un lado, puede quitar este factor del soporte:

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[left[ egin& left| x-1 ight|=0, & left| x-2 ight|=1. end ight.]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Sin embargo, esta ecuación se resuelve aún más simple que lo que consideramos anteriormente. Y si comprende por qué, obtendrá otro truco para resolver rápidamente ecuaciones con módulos.

No, esto no es un error tipográfico: entre los módulos es exactamente un plus. Y tenemos que encontrar para qué $ x $ la suma de los dos módulos es cero. :)

Cual es el problema Y el problema es que cada módulo es un número positivo, o en casos extremos, cero. ¿Y qué pasa si sumas dos números positivos? Obviamente, un número positivo nuevamente:

La última línea puede llevar a la idea: el único caso cuando la suma de los módulos es igual a cero es si cada módulo es igual a cero:

¿Y cuándo es el módulo igual a cero? Solo en un caso, cuando la expresión del submódulo es cero:

[x- <^ <3>> = 0 Rightarrow x left (1- <^ <2>> right) = 0 Rightarrow left [ begin& x = 0 & x = pm 1 fin right. ]

[<^ <2>> + x-2 = 0 Rightarrow left (x + 2 right) left (x-1 right) = 0 Rightarrow left [ begin& x = -2 & x = 1 final right. ]

Por lo tanto, tenemos tres puntos en los que el primer módulo se pone a cero: 0, 1 y −1, así como dos puntos en los que el segundo módulo se pone a cero: −2 y 1. Sin embargo, necesitamos que ambos módulos estén en cero al mismo tiempo, por lo tanto, entre Para encontrar los números, debe elegir los que están en ambos conjuntos. Obviamente, este número es solo uno: $ x = 1 $: esta será la respuesta final.

Método de escisión

Bueno, ya cubrimos un montón de tareas y aprendimos muchos trucos. ¿Crees que eso es todo? Y no! Ahora consideraremos la recepción final, y al mismo tiempo la más importante. Se tratará de dividir ecuaciones con un módulo. ¿De qué va todo esto? Volvamos un poco y veamos una ecuación simple. Por ejemplo, esto:

[ left | 3x-5 right | = 5-3x ]

En principio, ya sabemos cómo resolver tal ecuación, porque esta es una construcción estándar de la forma $ left | f left (x right) right | = g left (x right) $. Pero tratemos de ver esta ecuación desde un ángulo ligeramente diferente. Más precisamente, considere la expresión bajo el signo del módulo. Permítame recordarle que el módulo de cualquier número puede ser igual al número mismo, o puede ser opuesto a este número:

[ left | a right | = left < begin& a, quad a ge 0, & -a, quad a lt 0. end right. ]

En realidad, esta ambigüedad es todo el problema: dado que el número debajo del módulo cambia (depende de la variable), no nos queda claro si es positivo o negativo.

Pero, ¿qué pasaría si el requisito inicial fuera que este número fuera positivo? Por ejemplo, requerimos que $ 3x-5 gt 0 $; en este caso, tenemos garantizado obtener un número positivo bajo el signo del módulo, y podemos deshacernos por completo de este módulo:

[3x-5 gt 0 Flecha derecha izquierda | 3x-5 right | = 3x-5 ]

Por lo tanto, nuestra ecuación se convertirá en lineal, que se puede resolver fácilmente:

[3x-5 = 5-3x Rightarrow 6x = 10 Rightarrow x = frac <5> <3> ]

Es cierto que todas estas consideraciones tienen sentido solo bajo la condición $ 3x-5 gt 0 $: nosotros mismos introdujimos este requisito para revelar sin ambigüedad el módulo. Por lo tanto, sustituyamos el $ x = frac <5> <3> $ encontrado en esta condición y verifiquemos:

[x = frac <5> <3> Rightarrow 3x-5 = 3 cdot frac <5> <3> -5 = 5-5 = 0 ]

Resulta que con el valor especificado de $ x $ nuestro requisito no se cumple, porque la expresión resultó ser cero, y necesitamos que sea estrictamente mayor que cero. Tristeza. :(

Pero no es gran cosa! Después de todo, todavía existe la opción $ 3x-5 lt 0 $. Además: también existe el caso de $ 3x-5 = 0 $; esto también debe considerarse, de lo contrario la solución será incompleta. Entonces, considere el caso de $ 3x-5 lt 0 $:

[3x-5 lt 0 Rightarrow left | 3x-5 right | = 5-3x ]

Obviamente, el módulo se abrirá con un signo menos. Pero luego surge una situación extraña: la misma expresión sobresaldrá en la ecuación original tanto a la izquierda como a la derecha:

Me pregunto qué tipo de expresión $ x $ $ 5-3x $ será igual a la expresión $ 5-3x $? A partir de tales ecuaciones, incluso el Capitán se habría ahogado con la saliva, pero sabemos algo: esta ecuación es una identidad, es decir. ¡Es cierto para cualquier valor de la variable!

Y esto significa que cualquier $ x $ nos conviene. Sin embargo, tenemos una limitación:

[3x-5 lt 0 Rightarrow 3x lt 5 Rightarrow x lt frac <5> <3> ]

En otras palabras, la respuesta no es un solo número, sino un intervalo completo:

[x in left (- infty, frac <5> <3> right) ]

Finalmente, queda por considerar otro caso: $ 3x-5 = 0 $. Todo es simple: debajo del módulo habrá cero, y el módulo cero también será cero (esto se deduce directamente de la definición):

[3x-5 = 0 Flecha derecha izquierda | 3x-5 right | = 0 ]

Pero entonces la ecuación original es $ left | 3x-5 right | = 5-3x $ se reescribirá de la siguiente manera:

[0 = 3x-5 Rightarrow 3x = 5 Rightarrow x = frac <5> <3> ]

Ya obtuvimos esta raíz anterior cuando consideramos el caso de $ 3x-5 gt 0 $. Además, esta raíz es una solución a la ecuación $ 3x-5 = 0 $; esta es una restricción que nosotros mismos introdujimos para restablecer el módulo. :)

Por lo tanto, además del intervalo, también estamos satisfechos con el número que se encuentra al final de este intervalo:

Combinando raíces en ecuaciones con un módulo

Respuesta final total: $ x in left (- infty, frac <5> <3> right] $. No es muy familiar ver tanta basura en la respuesta a una ecuación bastante simple (esencialmente lineal) con un módulo Bueno, acostúmbrese: la complejidad del módulo radica en el hecho de que las respuestas en tales ecuaciones pueden resultar completamente impredecibles.

Mucho más importante es el otro: ¡acabamos de descubrir un algoritmo universal para resolver una ecuación con un módulo! Y este algoritmo consta de los siguientes pasos:

  1. Iguale cada módulo en la ecuación a cero. Obtenemos algunas ecuaciones
  2. Resuelve todas estas ecuaciones y marca las raíces en la recta numérica. Como resultado, la línea se dividirá en varios intervalos, en cada uno de los cuales todos los módulos se expanden de forma exclusiva,
  3. Resuelve la ecuación original para cada intervalo y combina las respuestas obtenidas.

Eso es todo! Solo queda una pregunta: ¿dónde obtener las raíces mismas obtenidas en el primer paso? Supongamos que tenemos dos raíces: $ x = 1 $ y $ x = 5 $. Romperán la recta numérica en 3 partes:

Dividiendo un eje numérico en intervalos usando puntos

Bueno, ¿cuáles son los intervalos aquí? Está claro que hay tres de ellos:

  1. Más a la izquierda: $ x lt 1 $ - la unidad en sí no ingresa el intervalo,
  2. Central: $ 1 le x lt 5 $: aquí es donde está la unidad en el intervalo, pero los cinco no están incluidos,
  3. Más a la derecha: $ x ge 5 $ - ¡los cinco se incluyen solo aquí!

Creo que ya entendiste el patrón. Cada intervalo incluye el extremo izquierdo y no incluye el derecho.

A primera vista, tal registro puede parecer incómodo, ilógico y, en general, una especie de locura. Pero créanme: después de una breve sesión de capacitación, descubrirán que es este enfoque el más confiable y, al mismo tiempo, no interfiere con la divulgación inequívoca de los módulos. Es mejor usar un esquema de este tipo que pensar cada vez: dar el extremo izquierdo / derecho al intervalo actual o "tirarlo" al siguiente.

Esto concluye la lección. Descargue tareas para una solución independiente, capacite, compare con las respuestas y nos vemos en la próxima lección, que se dedicará a las desigualdades con los módulos. :)

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