Consejos útiles

Ecuación irracional: aprender a resolver por el método de la soledad de la raíz.

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  • Como resolver ecuaciones con raíces
  • Cómo resolver ecuaciones irracionales
  • Cómo resolver una ecuación irracional

A diferencia de otros tipos de ecuaciones, por ejemplo, sistemas de ecuaciones cuadráticos o lineales, no existe un algoritmo estándar para resolver ecuaciones con raíces, o más precisamente, ecuaciones irracionales. En cada caso particular, es necesario elegir el método de solución más adecuado en función de la "apariencia" y las características de la ecuación.

El aumento de partes de la ecuación al mismo grado.

Muy a menudo, para resolver ecuaciones con raíces (ecuaciones irracionales), se utiliza la elevación de ambos lados de la ecuación en el mismo grado. Como regla, en un grado igual al grado de la raíz (al cuadrado para raíz cuadrada, cubo para raíz cúbica). Debe tenerse en cuenta que al elevar los lados izquierdo y derecho de la ecuación en un grado uniforme, puede tener raíces "extra". Por lo tanto, en este caso, uno debe verificar las raíces obtenidas sustituyéndolas en la ecuación. Se debe prestar especial atención en la resolución de ecuaciones con raíces cuadradas (pares) a la región de valores admisibles de la variable (ODZ). A veces, la estimación de ODZ solo es suficiente para resolver o simplificar significativamente la ecuación.

Un ejemplo Resuelve la ecuación:

Cuadramos ambos lados de la ecuación:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², de donde obtenemos sucesivamente:

Resolviendo la ecuación cuadrática obtenida, encontramos sus raíces:

Al sustituir ambas raíces encontradas en la ecuación original, obtenemos la igualdad correcta. Por lo tanto, ambos números son soluciones de la ecuación.

Método para introducir una nueva variable.

A veces es más conveniente encontrar las raíces de la "ecuación con raíces" (una ecuación irracional) mediante la introducción de nuevas variables. De hecho, la esencia de este método se reduce a un registro más compacto de la solución, es decir. en lugar de escribir una expresión voluminosa cada vez, se reemplaza por una leyenda.

Un ejemplo Resuelve la ecuación: 2x + √x-3 = 0

Puedes resolver esta ecuación al cuadrar ambos lados. Sin embargo, los cálculos en sí mismos parecerán bastante engorrosos. Con la introducción de una nueva variable, el proceso de decisión resultará mucho más elegante:

Introducimos una nueva variable: y = √ x

Luego obtenemos la ecuación cuadrática ordinaria:

2y² + y-3 = 0, con variable y.

Resolviendo la ecuación resultante, encontramos dos raíces:

sustituyendo las raíces encontradas en la expresión por la nueva variable (y), obtenemos:

Como el valor de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo (si no toca el área de los números complejos), obtenemos la única solución:

Solución de la ecuación irracional.

Nos ocuparemos de nuestra ecuación irracional dada al comienzo de la lección. Aquí la raíz ya es solitaria: a la izquierda del signo igual no hay nada más que la raíz. Cuadramos ambos lados:

2 x 2-14 x + 13 = (5 - x) 2
2 x 2-14 x + 13 = 25-10 x + x 2
x 2 - 4 x - 12 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática obtenida a través del discriminante:

D = b 2 - 4 ac = (−4) 2 - 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6, x 2 = −2

Solo queda sustituir estos números en la ecuación original, es decir ejecutar cheque. Pero aquí puede hacer lo correcto para simplificar la decisión final.

¿Dónde puedo resolver la ecuación con las raíces del solucionador en línea?

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Cómo simplificar la solución.

Pensemos: ¿por qué hacemos una comprobación al final de resolver una ecuación irracional? Queremos asegurarnos de que al sustituir nuestras raíces, un número no negativo estará a la derecha del signo igual. Después de todo, ya sabemos con certeza que precisamente un número no negativo está a la izquierda, porque la raíz cuadrada aritmética (por lo que nuestra ecuación se llama irracional) por definición no puede ser menor que cero.

Por lo tanto, todo lo que necesitamos comprobar es que la función g (x) = 5 - x, que está a la derecha del signo igual, no es negativa:

Sustituimos nuestras raíces en esta función y obtenemos:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = −1 g (x 2) = g (−2) = 5 - (−2) = 5 + 2 = 7> 0

De los valores obtenidos se deduce que la raíz x 1 = 6 no nos conviene, ya que al sustituir en el lado derecho de la ecuación original, obtenemos un número negativo. Y aquí está la raíz x 2 = −2 es bastante adecuado para nosotros, porque:

  1. Esta raíz es una solución a la ecuación cuadrática obtenida al erigir ambos lados. ecuación irracional al cuadrado
  2. El lado derecho de la ecuación irracional original al sustituir la raíz x 2 = −2 se convierte en un número positivo, es decir el rango de valores de la raíz aritmética no se viola.

¡Ese es todo el algoritmo! Como puede ver, resolver ecuaciones con radicales no es tan difícil. Lo principal es no olvidar verificar las raíces recibidas, de lo contrario es muy probable que obtenga respuestas adicionales.

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